FOGALMAK, MÓDSZEREK: A nemzetgazdasági modellekben szereplő mátrixok kétirányú kiigazítási módszereiről

Absztrakt

A cikk elsőként vállalkozik a kétirányú mátrix-kiigazítási, vagy más néven peremfeltételes mátrixbecslési probléma hazai szakmai olvasóközönség számára történő, legújabb publikációk eredményeit is magában foglaló bemutatására. A rendkívül szerteágazó, sokféle általánosítási lehetőséget kínáló problémakörből csak a gyakorlatban leginkább előforduló, a biztosnak tekintett és konzisztens sor- és oszlopösszesenekhez történő, a mátrix belsejére vonatkozó összetettebb feltételek nélküli esettel foglalkozunk. A probléma lehatárolása és matematikai formalizálása után a becsült és a referencia-mátrix eltéréséhez egy nemnegatív valós számot rendelő különféle ,,távolság-" illetve ,,entrópia"-függvényeket ismertetjük, amelyek minimalizálandó célfüggvényként jelennek meg azokban a matematikai programozási feladatokban, amelyekben korlátozó feltételként a sor- és oszlopösszesenre vonatkozó követelmények, valamint egyes esetekben nemnegativitási, illetve előjelmegőrzési feltételek is szerepelnek. E matematikai programozási feladatok vagy röviden modellek közül néhánynak a megoldásához vezető iterációs algoritmusát is tárgyaljuk. Ennek kapcsán bemutatjuk a szerzők egyike által kidolgozott ,,additív"-RAS algoritmust, és bebizonyítjuk, hogy egyfelől nemnegatív referenciamátrix és peremfeltételek esetén azonos eredményt ad a RAS-módszerrel, másfelől pedig negatív elemeket is tartalmazó referencia-mátrix, de előjeltartó megoldások esetén azonos eredményt ad, mint a "javított normalizált négyzetes eltéréseket" minimalizáló, angol rövidítéssel INSD-modell, illetve általában is azzal az INSD-modellel, amiből elhagyjuk az előjelváltás büntetőfüggvényét. Azt is demonstráljuk, hogy az additív-RAS algoritmus a GRAS-modell lépésenként másodfokú egyenletmegoldását igénylő iterációs algoritmusával szemben nemcsak hatékonyabb, hanem esztétikusabb is. Ugyanakkor a GRAS-modell megoldásának előjeltartó volta és amiatt, hogy az INSD-modell a GRAS modell egy Taylor-soros közelítésének tekinthető, igazoljuk, hogy kis eltérések esetén az additív-RAS-módszer, különösen pedig az ún. módosított additív-RAS módszer is hajlamos az előjeltartásra, kivéve, ha erre például a peremek előjelváltása kényszeríti. Lemelin (2009) számpéldáján azt is demonstráljuk, hogy az additív-RAS még az ilyen extrém, előjelváltást megkövetelő esetben is jól működik, sőt a Lemelin által vizsgált modellek közül a legjobb eredményt adja. A cikk felsorolva a többszektoros nemzetgazdasági modellez és azon gyakran használt mátrix-kategóriáit, amelyekre kétirányú mátrixkiigazítási módszereket szoktak alkalmazni, bemutatja, hogy a nemzetgazdasági elemzésekben való sikeres alkalmazás feltétele a konkrét közgazdasági jelenség és az erre felírt referencia mátrix sajátosságainak alapos ismerete. A sikeres alkalmazások egyik példájaként bemutat egy olyan friss kutatási projektet is, amelynek során mind az additív-RAS, mind pedig egy olyan összetettebb mátrixkiigazítási modell egyaránt igen jó eredményeket adott, amelyben a becsülendő mátrix elemeire blokk összesen-feltételek szerepeltek. A célfüggvényben pedig korábbi szerzők technikai megoldásainak, illetve a szerzők újszerű elgondolásainak hatékony és kreatív ötvözésére került sor.