Martingálmértékek és a várható dikontált jelenérték szabály

Absztrakt

A dolgozatban a legegyszerűbb kérdést feszegetjük: Hogyan kell az árakat meghatározni véletlen jövőbeli kifizetések esetén. A tárgyalás némiképpen absztrakt, de a funkcionálanalízis néhány közismert tételén kívül semmilyen más mélyebb matematikai területre nem kell hivatkozni. A dolgozat kérdése, hogy miként indokolható a várható jelenérték szabálya, vagyis hogy minden jövőbeli kifizetés jelen időpontban érvényes ára a jövőbeli kifizetés diszkontált várható értéke. A dologban az egyetlen csavar az, hogy a várható értékhez tartozó valószínűségi mértékről nem tudunk semmit. Csak annyit tudunk, hogy létezik a matematikai pénz Ügyek legtöbbet hivatkozott fogalma, a misztikus Q mérték. A dolgozat megírásának legfontosabb indoka az volt, hogy megpróbáltam kiiktatni a megengedett portfólió fogalmát a származtatott termékek árazásának elméletéből. Miként közismert, a származtatott termékek árazásának elmélete a fedezés fogalmára épül. De milyen módon lehet fedezni? Diszkrét és véges időhorizonton a fedező portfóliónak egyedül Ön-finanszírozónak kell lenni. Az Önfinanszírozás ilyenkor megadott definíciója igen egyszerű és meggyőző [7]. Jóval nagyobb problémát jelent azonban a folytonos időhorizont esete. Ha eltekintünk is attól, hogy lehetetlen a fedező portfólióban a súlyokat folytonosan változtatni két további probléma marad: Egyrészt az Önfinaszírozás definíciójában szereplő késleltetés, nevezetesen a t és a t + 1 időpontok szerepeltetése folytonos időhorizonton matematikailag nem értelmezhető, másrészt, és ez a fontosabb, a duplázási stratégia által definiált mindig létező arbitrázs lehetőség kiiktatása miatt be kell vezetni a megengedett portfóliókat, amely fogalomra a véges időpontot tartalmazó modellek esetén, miként említettem, nincsen szükség. Az első probléma megkerülését avval szokás indokolni, vagy inkább szőnyeg alá söpörni, hogy az It^o-kalkulus integrálfogalma valamiképpen tartalmazza az Önfinanszírozásban szereplő időpontkésleltetést. Hogy ez mennyire helyes, vagy helytelen, nem érdemes feszegetni, ugyanis jóval nagyobb gondot jelent a megengedett portfóliók bevezetése. Az irodalomban két megközelítés létezik: Az elsőben feltesszük, hogy a megengedett portfólió alulról korlátos [1,2,3,6,16]. Ennek kétségtelen előnye, hogy viszonylag egyszerűen interpretálható, illetve emlékeztet a tényleges pénzügyi gyakorlatra: Adott valamilyen kezdőösszeg, amiből gazdálkodni kell, és amikor ez a kezdőlimit elfogy, akkor a portfóliót le kell zárni. Ugyanakkor evvel azt érjük el, hogy az eladás, illetve a vétel nem lesz azonosan megengedett, vagyis a fedező portfóliók halmaza nem lesz lineáris tér, hanem kúp lesz, így a származtatott termékek árazásában kulcs szerepet játszó gondolat, miszerint a vevők és az eladók egyszerre vannak jelen, elvész, és a vételi és az eladási oldalon más és más gondolatmenetet kell az ár indoklásakor alkalmazni. A másik megoldás szerint pedig a megengedett portfóliók azok a portfóliók, amelyekre a portfólió értéke a kockázatsemleges árrendszer esetén martingál lesz [7,14]. A kérdés jogos: Miért is? Nem éppen a martingálmértéket akarjuk bevezetni? Mi van akkor, ha több martingálmérték van? Akkor melyik szerint kell a fedező portfóliónak martingálnak lenni? Erre mintha nem lenne válasz. Kétségtelen, hogy a megengedett portfólió ezen definíciója helyreállítja a fedező portfóliók azon tulajdonságát, hogy a vevők és az eladók szempontjából a helyzetet azonosan kezeli, de a korrekció durván matematikai, technikai jellegű és véleményem szerint nagyon kilóg a nevezetes lóláb.